Question

已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
(2)求证：对于任意的n∈N^*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.

Answer 1

（1）(0,1]   （2）见解析

(1)f′(x)=(x>0),
由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,
所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].
(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,因为>1,所以f>f(1),
即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N^*,且n>1恒成立,
lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N^*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.