【题目】如图,在边长为4的菱形中, ,点分别是的中点, ,沿将翻折到,连接,得到如图的五棱锥,且
(1)求证: 平面(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先证明,从而,根据线面垂直的判定定理可证明平面;(2)设,连接,由(1)可得,根据勾股定理可得,根据线面垂直的判定定理可得平面,以为原点, 在直线为轴, 所在直线轴, 所在直线为轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)点分别是的中点
菱形的对角线互相垂直
(2)设,连接 为等边三角形,
,在中,在中,
, 平面
以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则
设平面的法向量为,由得
令得
平面的一个法向量为,
由(1)知平面的一个法向量为,
设求二面角的平面角为,
则
二面角的余弦值为
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】给出下列命题:
① “若,则有实根”的逆否命题为真命题;
②命题“”为真命题的一个充分不必要条件是;
③命题“,使得”的否定是真命题;
④命题函数为偶函数,命题函数在上为增函数,
则为真命题.
其中,正确的命题是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
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【题目】如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点,的最大值是,的最小值是,且满足.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设线段的中点为,线段的垂直平分线与轴、轴分别交于,两点,是坐标原点,记的面积为,的面积为,求的取值范围.
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【题目】已知为常数,对任意,均有恒成立.下列说法:
①的周期为;
②若为常数)的图像关于直线对称,则;
③若且,则必有;
④已知定义在上的函数对任意均有成立,且当时, ;又函数为常数),若存在使得成立,则的取值范围是.其中说法正确的是____.(填写所有正确结论的编号)
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【题目】已知函数f(x)= (其中e是自然对数的底数,常数a>0).
(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;
(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,AB=,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点,DE⊥PA.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PDE.
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