Question

【题目】已知函数f(x)＝ (其中e是自然对数的底数，常数a＞0)．

(1)当a＝1时，求曲线在(0，f(0))处的切线方程；

(2)若存在实数x∈(a,2]，使得不等式f(x)≤e2成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为.（2）a的取值范围是(0,1].

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程（2）先变量分离得 ，再利用导数求函数最大值，即得a的取值范围．

试题解析：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}．

当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝，

∴f(0)＝－1，f′(0)＝－2.

∴曲线在(0，f(0))处的切线方程为

2x＋y＋1＝0.

(2)f′(x)＝，

令f′(x)＝0，x＝a＋1，

∴f(x)在(－∞，a)，(a，a＋1)上递减，

在(a＋1，＋∞)上递增.6分

若存在x∈(a,2]，使不等式f(x)≤e2成立，只需在x∈(a,2]上，f(x)min≤e2成立．

①当a＋1≤2，即0＜a≤1时，f(x)min＝f(a＋1)＝ea＋1≤e2，

∴0＜a≤1符合条件.10分

②当a＋1＞2，即1＜a＜2时，

f(x)min＝f(2)＝≤e2，解得a≤1，

又1＜a＜2，∴a∈.

综上，a的取值范围是(0,1].