Question

【题目】如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．

(1)求证：DF∥平面ABC；

(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】试题分析：（1）过点F作FH∥EA交AB于点H，根据平几知识可得CDFH是平行四边形，即得DF∥CH，再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据正三角形性质得CH⊥AB，再根据线面垂直判定定理得CH⊥平面AEB，即得DF⊥平面AEB，从而∠DAF为直线AD与平面AEB所成的角．最后解直角三角形得直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

试题解析：(1)证明　如图，过点F作FH∥EA交AB于点H，连接HC.

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC.

又FH∥EA，

∴FH∥DC.

∵F是EB的中点，

∴FH＝AE＝DC.

∴四边形CDFH是平行四边形，

∴DF∥CH.

又CH平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC.

(2)解　∵△ABC为正三角形，H为AB的中点，∴CH⊥AB.

∵EA⊥平面ABC，CH平面ABC，

∴CH⊥EA.

又EA∩AB＝A，EA平面AEB，

AB平面AEB，

∴CH⊥平面AEB.

∵DF∥CH，

∴DF⊥平面AEB，

∴AF为DA在平面AEB上的投影，

∴∠DAF为直线AD与平面AEB所成的角．

在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a，sin∠DAF＝＝，

∴直线AD与平面AEB所成角的正弦值为.