Question

【题目】如图，长方体中， ， ，点， ， 分别为， ， 的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.

（1）在图中画出这个几何图形（说明画法，不需要说明理由）；

（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】试题分析：（1）利用平行关系作图；（2）建立空间直角坐标系，求出两个法向量， ， ，求出二面角。

试题解析：

（1）取的中点，连接， ， ， ，则交线围成的几何图形如图：

（2）因为点， 分别为， 的中点， ，

所以，

以为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ，

， .

设 是平面的法向量，则 ，即

所以可取.

同理可求平面的一个法向量为

因为

所以二面角 的余弦值为

试题分析：本题考查立体几何的二面角求解。一般的，在容易建系的立体几何问题中，采取空间直角坐标系解题比较方便，可以避免找角或其他技巧性方法，将几何问题转化为代数计算，只需掌握解题套路，即可解决问题。