Question

【题目】如图，已知长方体，直线与平面所成角为垂直于点为的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点，为的中点.

【解析】试题分析：

由题意可知，故得，由此可得．（1）结合条件建立空间直角坐标系，由条件可求得平面的一个法向量为，根据线面角的求法可得所求角的正弦值为．（2）根据条件可得，由此可得平面的一个法向量为，再由所给出的条件可求得，从而存在点满足条件，且点为的中点．

试题解析：

由题意得，

所以为直线与面所成的角，故

又

．

由．

（1）以为正交基底建立平面直角坐标系，

则，则，

设平面的一个法向量为，

因为，

由，

设直线与平面所成的角为，

则 ，

所以直线与面所成角的正弦值为．

（2）令，则，

所以．

设平面的一个法向量为

由，

由题意可得

，

整理得

解得或．

又，

．

所以存在点满足条件，且点为的中点．