Question

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于， 两点，当直线过点时， 的周长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意结合椭圆的定义可知的周长为 ， ，结合离心率可知， ，则椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设， 两点坐标分别为， ，当直线与轴重合时， ，当直线与轴重合时， ，当直线斜率为时， ，当直线斜率存在且不为时，联立直线方程与椭圆方程可得，则， ，结合韦达定理整理计算可得不等式，解得，则.

试题解析：

（Ⅰ）∵的周长为 ，

∴，

又，∴，∴，

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设， 两点坐标分别为， ，

当直线与轴重合时， 点与上顶点重合时， ，

当直线与轴重合时， 点与下顶点重合时， ，

当直线斜率为时， ，

当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，

联立，

得，

则有，①

②

设，则，代入①②得

③

④

∴ ，

即，解得，

综上，