【题目】【2018海南高三阶段性测试(二模)】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为
的中点,点
为
上一动点.
(I)是否存在一点,使得线段
平面
?若存在,指出点
的位置,若不存在,请说明理由.
(II)若点为
的中点且
,求三棱锥
的体积.
【答案】(I)见解析(II)
【解析】试题分析:
(1)存在点,且
为
的中点.连接
,
,由三角形中位线的性质可得
,结合线面平行的判定定理可得
平面
.
(2)由题意结合勾股定理可求得.以点
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,可得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,据此计算可得二面角
的正弦值为
.
试题解析:
(1)存在点,且
为
的中点.证明如下:
如图,连接,
,点
,
分别为
,
的中点,
所以为
的一条中位线,
,
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)设,则
,
,
,
由,得
,解得
.
由题意以点为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得
,
,
,
,
故,
,
,
.
设为平面
的一个法向量,则
得
令,得平面
的一个法向量
,
同理可得平面的一个法向量为
,
故二面角的余弦值为
.
故二面角的正弦值为
.
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【题目】已知f(x)=2ln(x+2)﹣(x+1)2 , g(x)=k(x+1).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当k=2时,求证:对于x>﹣1,f(x)<g(x)恒成立;
(3)若存在x0>﹣1,使得当x∈(﹣1,x0)时,恒有f(x)>g(x)成立,试求k的取值范围.
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【题目】如图,已知四边形是正方形,
,
,
,
都是等边三角形,
、
、
、
分别是线段
、
、
、
的中点,分别以
、
、
、
为折痕将四个等边三角形折起,使得
、
、
、
四点重合于一点
,得到一个四棱锥.对于下面四个结论:
①与
为异面直线; ②直线
与直线
所成的角为
③平面
; ④平面
平面
;
其中正确结论的个数有( )
A. 个 B.
个 C.
个 D.
个
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【题目】如图,等边三角形的中线
与中位线
相交于
,已知
是
绕
旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是
A. 恒有⊥
B. 异面直线与
不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 动点在平面
上的射影在线段
上
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【题目】已知函数 ,
(
为自然对数的底数).
(1)设曲线 在
处的切线为
,若
与点
的距离为
,求
的值;
(2)若对于任意实数 ,
恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当 时,函数
在
上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线 的参数方程
(
为参数),曲线
的极坐标方程为
.
(1)将曲线 的参数方程化为普通方程,将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)试问曲线 ,
是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
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【题目】已知随机变量 的取值为不大于
的非负整数值,它的分布列为:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中 (
)满足:
,且
.
定义由 生成的函数
,令
.
(I)若由 生成的函数
,求
的值;
(II)求证:随机变量 的数学期望
,
的方差
;
( )
(Ⅲ)现投掷一枚骰子两次,随机变量 表示两次掷出的点数之和,此时由
生成的函数记为
,求
的值.
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