Question

【题目】已知函数 ， ( 为自然对数的底数).
（1）设曲线 在 处的切线为 ，若 与点 的距离为 ，求 的值；
（2）若对于任意实数 ， 恒成立，试确定 的取值范围；
（3）当 时，函数 在 上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解： , .

在 处的切线斜率为 ，

∴切线 的方程为 ，即 .

又切线 与点 距离为 ,所以 ，

解之得， 或

（2）解：∵对于任意实数 恒成立，

∴若 ，则 为任意实数时， 恒成立；

若 恒成立，即 ，在 上恒成立，

设 则 ,

当 时， ，则 在 上单调递增；

当 时， ，则 在 上单调递减；

所以当 时， 取得最大值， ，

所以 的取值范围为 .

综上，对于任意实数 恒成立的实数 的取值范围为

（3）解：依题意, ，

所以 ,

设 ,则 ,当 ,

故 在 上单调增函数,因此 在 上的最小值为 ，

即 ，

又 所以在 上， ，

即 在 上不存在极值

【解析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，再利用点到直线距离公式代入求解.
（2）恒成立问题进行分离变量转化为函数的最值问题，由于x ≥ 0 ,不等式两边同除以x时注意对x的分类讨论.
（3）利用导数判断出函数在区间 [ 1 , e ]上的单调性，借助单调性的判断函数有无极值.
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．