Question

【题目】已知.

（1）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；

（2）若在上的最小值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：⑴化简方程，令求导，算出单调性，转化为函数与在有交点，利用斜率求得参量取值范围(2)求导，分别讨论、、

三种情况的最小值，求解符合题目的参数的值

解析：（1）方程可化为，

令，

则 ，

由可得，由可得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的极小值为，而， ，

要使方程在上有实数根，

只需使得函数与在有交点，

∵点与连线的斜率为，

点与连线的斜率为，且，

∴结合图像可得时，函数与有交点.

∴方程在上有实数根时，

实数的取值范围是

（2）由可得，

①若，则在上恒成立，即在单调递减，

则的最小值为，故，

满足；

②若，则在上恒成立，即在单调递增，

则的最小值为，故，不满足，舍去；

③若，则时， ； 时， .

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为 ，即.

令，则，

∴在上单调递增，∴，

，而，故不可能成立.

综上可知，实数的值为.