【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
【答案】(1);(2)直线l的方程为x=1.
【解析】试题分析:(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解;(2) 联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.
试题解析:(1)因为抛物线y2=4x的焦点为(
,0),所以椭圆C的半焦距c=
,即a2-b2=3. ①
把点Q代入
+
=1,得
+
=1. ②
由①②解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=ty+1,代入+y2=1,
得(t2+4)y2+2ty-3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-
.
则|y1-y2|==
=
=
=
.令
=m(m≥
).易知函数y=m+
在[
,+∞)上单调递增,
则+
≥
+
=
,当且仅当m=
,即t=0时,取等号.
所以|y1-y2|≤.所以△AMN的面积S=
|AP||y1-y2|≤
×3×
=
,
所以Smax=,此时直线l的方程为x=1.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
和
,离心率是
,直线
过点
交椭圆于
,
两点,当直线
过点
时,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当直线绕点
运动时,试求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点,参数
,在以原点为极点、
轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中,动点
在曲线
:
上.
(1)求点的轨迹
的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若动点的轨迹
和曲线
有两个公共点,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,点
在线段
上,且
,
为
的中点.
(Ⅰ)若,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若平面平面
,
为等边三角形,且
,求三棱锥
的体积.
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【题目】如图,底面半径为,母线长为
的圆柱的轴截面是四边形
,线段
上的两动点
,
满足
.点
在底面圆
上,且
,
为线段
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)四棱锥的体积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且离心率为
.过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
的右顶点,探究:
是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由.(其中,
,
分别是直线
、
的斜率)
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【题目】公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限接近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”,利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( )
(参考数据: )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
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