【题目】在直三棱柱中,
为正三角形,点
在棱
上,且
,点
,
分别为棱
,
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连接,
,交于点
,
交
于点
,连接
,易证
,从而得证;(2)以点
为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向,建立空间直角坐标系,平面
的法向量为
,
,利用公式即可得到直线
与平面
所成的角的正弦值.
试题解析:
(1)证明:如图,连接,
,交于点
,
交
于点
,连接
,
因为为矩形,所以
为线段
的中点,
因为点,
分别为棱
,
的中点,
所以点为线段
的中点,所以
,
又因为,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)由(1)知,,因为
平面
,所以
平面
,
因为为正三角形,且点
为棱
的中点,
所以,
故以点为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,设
,
,
则,
,
,
,
,
所以,
,
因为,所以
,
所以,解得
.
所以,
,
设平面的法向量为
,
则,所以
,
取,则
,
又因为,设直线
与平面
所成的角为
,
所以,
所以直线与平面
所成的角的正弦值为
.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】【2018海南高三阶段性测试(二模)】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为
的中点,点
为
上一动点.
(I)是否存在一点,使得线段
平面
?若存在,指出点
的位置,若不存在,请说明理由.
(II)若点为
的中点且
,求三棱锥
的体积.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1, ,连接CE并延长交AD于F.
(Ⅰ)求证:AD⊥CG;
(Ⅱ)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
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【题目】依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示.
试估计该河流在8月份水位的中位数;
(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;
(2)该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾害影响,利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响则亏损1000万元.
现此企业有如下三种应对方案:
方案 | 防控等级 | 费用(单位:万元) |
方案一 | 无措施 | 0 |
方案二 | 防控1级灾害 | 40 |
方案三 | 防控2级灾害 | 100 |
试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样从质量为,
的芒果中随机抽取
个,再从这
个中随机抽取
个,记随机变量
表示质量在
内的芒果个数,求
的分布列及数学期望.
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以
元/个收购,高于或等于
克的以
元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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【题目】设函数的定义域为
,若满足条件:存在
,使
在
上的值域为
,则称
为“倍缩函数”.若函数
为“倍缩函数”,则实数
的取值范围是
A. (﹣∞,ln2﹣1) B. (﹣∞,ln2﹣1]
C. (1﹣ln2,+∞) D. [1﹣ln2,+∞)
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数,
),在以坐标原点为极点,
轴非负轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
(
为极角).
(1)将曲线化为极坐标方程,当
时,将
化为直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于一点
,求
点的直角坐标使
到定点
的距离最小.
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