Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1， ，连接CE并延长交AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥CG；

（Ⅱ）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（1）根据平几知识得三角形全等得EF⊥AD，再根据条件PA⊥平面ABCD，得GF⊥AD，根据线面垂直判定定理得AD⊥平面CFG，即得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求结果.

试题解析：（Ⅰ）在△ABD中，因为点E是BD的中点，

∴EA=EB=ED=AB=1，

故

因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，

从而有

∴，故EF⊥AD，AF=FD．

又PG=GD，∴FG//PA．又PA⊥平面ABCD，

∴GF⊥AD，故AD⊥平面CFG

又平面CFG，∴AD⊥CF

（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则

故， ，

．

设平面BCP的法向量，

则，解得，

即

设平面DCP的法向量，

则解得

即．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为