【题目】如图,底面半径为,母线长为
的圆柱的轴截面是四边形
,线段
上的两动点
,
满足
.点
在底面圆
上,且
,
为线段
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)四棱锥的体积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:
(1)要证线面平行,考虑到Q是AP的中点,因此可再取PB的中点H,从而由中位线定理得HQ与EF平行且相等,因此有FQ//HE,从而得线面平行;
(2)P点是固定的,平面ABCD是不变的,因此四棱锥的高是定值,而四棱锥的底面ABEF的面积也是不变的,因此体积为定值,由体积公式可得体积.
试题解析:
(1)证明:设PB的中点为F,连接HE,HQ,
在△ABP中,利用三角形中位线的性质可得QH∥AB,且QH=AB,
又EF∥AB,EF=AB,所以EF∥HQ,EF=HQ,
所以四边形EFQH为平行四边形,所以FQ∥HE,
所以FQ∥平面BPE.
(2)四棱锥PABEF的体积为定值,定值为.理由如下:
由已知可得梯形ABEF的高为2,所以S梯形ABEF=×2=3,
又平面ABCD⊥平面ABP,过点P向AB作垂线PG,垂足为G,
则由面面垂直的性质定理可得PG⊥平面ABCD,
又AP=,AB=2,∠APB=90°,所以BP=1,
所以PG==
,所以V四棱锥PABEF=
×PG×S梯形ABEF=
×
×3=
,
所以四棱锥PABEF的体积为定值,定值为
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【题目】如图,已知长方体,直线
与平面
所成角为
垂直
于点
为
的中点.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,确定
点位置;若不存在,说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
为参数),以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与曲线
相交于
两点,且
,求实数
的值.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且离心率为
.过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
的右顶点,探究:
是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由.(其中,
,
分别是直线
、
的斜率)
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【题目】有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地,已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内(单位:毫米,以下同),按规定直径在
内为优质品,现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个,测量这些桔柚的直径,所得数据整理如下:
(1)根据以上统计数据完成下面列联表,并回答是否有
以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”?
(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数 (同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)记甲基地直径在范围内的五个桔柚分别为
,现从中任取二个,求含桔柚
的概率.
附: ,
.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样从质量为,
的芒果中随机抽取
个,再从这
个中随机抽取
个,记随机变量
表示质量在
内的芒果个数,求
的分布列及数学期望.
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以
元/个收购,高于或等于
克的以
元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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