Question

【题目】已知函数f(x)＝x(1－)是R上的偶函数．

(1)对任意的x∈[1,2]，不等式m·≥2x＋1恒成立，求实数m的取值范围．

(2)令g(x)＝1－，设函数F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零点，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）实数m的取值范围为[3，＋∞).（2）实数n的取值范围是(2，＋∞).

【解析】试题分析：（1）先根据偶函数得a＝2，再分离变量得m≥2x－1最大值，即得实数m的取值范围（2）根据函数单调性化简方程F(x)＝0得n＝4x－2x＋1＋3，再根据二次函数值域求实数n的取值范围．

试题解析：(1)∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)·(1－)＝x·(1－)．

∴x·(2－a)＝0，由于x不恒为0，∴a＝2.3分

故f(x)＝x(1－)＝x·.

又x∈[1,2]，∴2x－1＞0,2x＋1＞0，

∴不等式m·≥2x＋1恒成立，等价于m≥2x－1恒成立．

又x∈[1,2]，∴2x－1∈[1,3]，∴当m≥3时，不等式m≥2x－1恒成立，

∴实数m的取值范围为[3，＋∞).

(2)函数F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零点，等价于方程g(4x－n)－g(2x＋1－3)＝0有实数根．由(1)知f(x)＝x(1－)，

∴g(x)＝1－＝ (x≠0)．

由2x＋1是增函数，∴g(x)是减函数.9分

∴4x－n＝2x＋1－3，

∴n＝4x－2x＋1＋3.

∵4x－2x＋1＋3

＝(2x)2－2·2x＋3

＝(2x－1)2＋2，

又x≠0，∴(2x－1)2＋2>2.

故实数n的取值范围是(2，＋∞).