Question

【题目】设函数f(x)＝ex－ax－1.

(1)当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0；

(2)求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）在a>0的情况下讨论函数的单调性，求出函数的小值g(a)＝a－alna－1，再对这个函数求导，研究这个函数的最大值g(1)＝0，故g(a)≤0。（2）结合第一问得到x>0时，总有ex>x＋1，两边变形得到(x＋1)n＋1<(ex)n＋1＝e(n＋1)x.再利用赋值法得到结果即可。

解析：

(1)由a>0及f′(x)＝ex－a可得，函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，

在(lna，＋∞)上单调递增，

故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，则g′(a)＝－lna，

故当a∈(0,1)时，g′(a)>0；

当a∈(1，＋∞)时，g′(a)<0，

从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，

在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，故g(a)≤0.

(2)由(1)可知，当a＝1时，总有f(x)＝ex－x－1≥0，

当且仅当x＝0时等号成立，即当x>0时，总有ex>x＋1.

于是，可得(x＋1)n＋1<(ex)n＋1＝e(n＋1)x.

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－n；

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－(n－1)；

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－(n－2)；

…

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－1.

对以上各式求和可得：

n＋1＋n＋1＋n＋1＋…＋n＋1<e－n＋e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－1

＝＝＝<<1.

故对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.