Question

【题目】已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与轨迹交于两点， 为坐标原点，若的重心恰好在圆上，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）如图，通过|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆，即得椭圆C的方程；（2）设点G（x1，y1），H（x2，y2），联立直线l与椭圆C的方程，由韦达定理得x1+x2，从而可得y1+y2，及△GOH的重心的坐标并将其代入圆的方程，通过计算得＜1+4k2（k≠0），利用不等式即得实数m的取值范围．

解析：

（Ⅰ）如图，

故点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆

所以椭圆的方程为 ．

（Ⅱ）设点

方程联立 得，

，

所以的重心的坐标为

整理得： ①

依题意 得 ②

由①、②易得

设，则

，当且仅当取等号

所以实数的取值范围是 .