Question

【题目】已知函数f(x)=(x2-ax+a)e-x，a∈R

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)=f’(x)，其中f’(x)为函数f(x)的导函数.判断g(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导得f’(x)=-(x-2)(x-a)e-x，讨论a和2的大小，结合导数的正负讨论单调性即可；

（Ⅱ）g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x，记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，通过二次函数的性质知函数有正有负，从而得g(x)在定义域内不为单调函数.

试题解析：

（Ⅰ）函数f(x)的定义域为{x|x∈R}. .

①当a<2时，令f’(x)<0，解得：x<a或x>2，f(x)为减函数；

令f’(x)>0，解得：a<x<2，f(x)为增函数.

②当a=2时，f’(x)=-(x-2)2e-x≤0恒成立，函数f(x)为减函数；

③当a>2时，令f’(x)<0，解得：x<2或x>a，函数f(x)为减函数；

令f’(x)>0，解得：2<x<a，函数f(x)为增函数.

综上，

当a<2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,a),(2,+∞)；单调递增区间为(a,2)；

当a=2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞)；

当a>2时，f(x)的单调递减区间为(-∞,2),(a,+∞)；单调递增区间为(2,a).

（Ⅱ）g(x)在定义域内不为单调函数，以下说明：

g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x.

记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，则函数h(x)为开口向上的二次函数.

方程h(x)=0的判别式△=a2-4a+8=(a-2)2+4>0恒成立.

所以，h(x)有正有负，从而g’(x)有正有负

故g(x)在定义域内不为单调函数.