Question

【题目】在四棱锥中，底面是矩形， 平面， 是等腰三角形， ， 是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得 ，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以， ， 分别为， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以

又因为底面是矩形，所以

又因为，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.

不妨设，则.

因为平面，所以.

又因为底面是矩形，所以.

又因为，所以平面，所以A .

又因为，所以平面，所以

所以就是二面角的平面角.

在中，由勾股定理得，

由等面积法，得，

又由平行线分线段成比例定理，得.

所以.所以.

所以.

所以二面角的正切值为.

方法二：（向量法）以， ， 分别为， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系：

不妨设，则由（Ⅱ）可得， .

又由平行线分线段成比例定理，得，

所以，所以.

所以点， ， .

则， .

设平面的法向量为，则

由得得

令，得平面的一个法向量为；

又易知平面的一个法向量为；

设二面角的大小为，则.

所以.所以二面角的正切值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.