Question

【题目】已知函数.

（I）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；

（II）求的单调区间；

（III）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求出函数的导数，问题转化为存在大于0的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可.

试题解析：（I）由得.

由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，

即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，

所以实数a的取值范围.

（II）由可得

当时， ，所以函数的增区间为；

当时，若， ，若， ，

所以此时函数的增区间为，减区间为.

（III）由及题设得，

由可得，由（II）可知函数在上递增，

所以，取，显然，

，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：

－ 0 +

↘ 极小 ↗

所以当-1<a<0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.

（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可)