【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试发现:女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙两人独立解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为
,求
的分布列及数学期望.
附表及公式
【答案】(1) 有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关;(2) 乙比甲先解答完的概率
;(3) 
的分布列为:
.
【解析】试题分析：(1)由列联表,结合公式求出
观测值,再对照概率表,即可得出结论;
(2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟,则基本事件满足的区域为
,设事件
为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为
,再由几何概型的概率公式求解即可;
(3) 由题可知
可能取值为0,1,2,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望.
试题解析：
(1)由表中数据得
的观测值
,
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟,
则基本事件满足的区域为
,
设事件
为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为
,
所以由几何概型
,即乙比甲先解答完的概率
.
(3)由题可知
可能取值为0,1,2,
,
故
的分布列为:
所以
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝x(1－
)是R上的偶函数．
(1)对任意的x∈[1,2]，不等式m·
≥2x＋1恒成立，求实数m的取值范围．
(2)令g(x)＝1－
，设函数F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零点，求实数n的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点， 
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）写出曲线
的直角坐标方程；
（2）设点
、
分别在
、
上运动，若
的最小值为1，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，过
且与
轴垂直的直线与椭圆
在第一象限内的交点为
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线
交椭圆
于
两点，当
时，求直线
的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】直角三角形
中，
是
的中点，
是线段
上一个动点，且
，如图所示，沿
将
翻折至
，使得平面
平面
．
（1）当
时，证明：
平面
；
（2）是否存在
，使得
与平面
所成的角的正弦值是
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为
|OB|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，若椭圆
，椭圆
，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．
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