Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.

(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；

(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）在线段CC1上存在点E，

【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理先证明线面垂直OD⊥平面ABB1A1 然后再证明面面垂直（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解

解析：(1)证明　取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.

又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，

所以AB⊥平面B1OD，

因为OD平面B1OD，所以AB⊥OD.

由已知条件知，BC⊥BB1，

又OD∥BC，所以OD⊥BB1.

因为AB∩BB1＝B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，

所以OD⊥平面ABB1A1.

因为OD平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.

(2)解　由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系，连接B1C.

由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，

∴＝(0,1，－)，＝(1,0，－)，＝(－1,0，)，

＝(1,2，－)，设＝λ (0<λ<1)，

由＝＋＝(1－λ，2， (λ－1))，设平面BB1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则得

令z1＝1，则x1＝y1＝，

所以平面BB1D的法向量为m＝(，，1)．

设平面B1DE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则

得

令z2＝1，则x2＝，y2＝，

所以平面B1DE的一个法向量n＝(，，1)．

设二面角E－B1D－B的大小为θ，

则cosθ＝＝＝－.

解得λ＝.

所以在线段CC1上存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－，此时＝.