【题目】已知函数(
),
.
(1)若,曲线
在点
处的切线与
轴垂直,求
的值;
(2)若,试探究函数
与
的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究
值的个数;,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当
时,函数
与
的图象在其公共点处不存在公切线,当
时,函数
与
的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的
的值有且仅有两个.
【解析】试题分析:(1)当时,
,得到
,依题意
,即可求解
的值;(2)假设
的图象在其公共点
处存在公切线,分别求出导数,令
,得
,讨论
,分别
,
,令
,研究方程解的个数,可构造函数,运用都是求出单调区间,讨论函数的零点个数即可判断.
试题解析:(1)当时,
,∴
,
依题意得,∴
.
(2)假设函数与
的图象在其公共点
处存在公切线,
∵,∴
,∴
,
,
由得
,即
,
∴,故
.
∵函数的定义域为
,
当时,
,∴函数
与
的图象在其公共点处不存在公切线;
当时,令
,
∵,
,
∴,即
(
).
下面研究满足此等式的的值的个数:
设,则
,且
,方程
化为
,
分别画出和
的图象,
当时,
,
,
由函数图象的性质可得和
的图象有且只有两个公共点(且均符合),
∴方程有且只有两个根.
综上,当时,函数
与
的图象在其公共点处不存在公切线;当
时,函数
与
的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的
的值有且仅有两个.
点晴:本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题,其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用函数的性质解决不等式、方程问题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中认真审题,注意导数在函数中的合理应用,试题有一定的难度,属于难题.
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【题目】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列四个命题:
①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于x=1对称;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(2)=f(0).
其中正确命题的序号是____________.(请把正确命题的序号全部写出来)
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【题目】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形,俯视图是正方形.
(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼?试证明你的结论;
(3)在(2)的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.
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【题目】如图,等腰梯形
中,
,
于点
,
,且
.沿
把
折起到
的位置(如图
),使
.
(I)求证: 平面
.
(II)求三棱锥的体积.
(III)线段上是否存在点
,使得
平面
,若存在,指出点
的位置并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
频数 | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |||||||||||||
合格品 | |||||||||||||||
不合格品 | |||||||||||||||
合计 | ,求 |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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【题目】已知点为圆
的圆心,
是圆上的动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
,
.
(1)当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线
与圆
相切,直线
与(1)中所求点
的轨迹交于不同的两点
,
,
是坐标原点,且
时,求
的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.
(1)求证:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)在线段CC1(不含端点)上,是否存在点E,使得二面角E-B1D-B的余弦值为-?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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