Question

【题目】数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：

①；②当时， ().

记这样的数列个数为.

（I）写出的值；

（II）证明不能被4整除.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）依题意，易得： ；（2）把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或3.分成三类情况，利用已知条件逐一进行验证即可.

试题解析：

（Ⅰ）解： .

（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.

对于个数的首项最小数列，由于，故或3.

（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；

（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；

（3）若则或. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前项应该是， 是或，即与是相邻整数.

由条件②，这数列在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故后的各项都小于它.

这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.

综上，有递推关系： ， .

由此递推关系和（I）可得， 各数被4除的余数依次为：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它们构成14为周期的数列，又，

所以被4除的余数与被4除的余数相同，都是1，

故不能被4整除.