Question

【题目】已知正项数列{an}，a1=1，an=an+12+2an+1（Ⅰ）求证：数列{log2（an+1）}为等比数列：
（Ⅱ）设bn=n1og2（an+1），数列{bn}的前n项和为Sn ， 求证：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an=an+12+2an+1 ， ∴an+1=（an+1+1）2 ，
∵an＞0，
∴2log2（an+1+1）=log2（an+1），
即log2（an+1+1）= log2（an+1），
即数列{log2（an+1）}是1为首项， 为公比的等比数列：
（Ⅱ）∵数列{log2（an+1）}是1为首项， 为公比的等比数列：
∴log2（an+1）= ，
设bn=n1og2（an+1）=n ，
则数列{bn}的前n项和为Sn=1+ ，
Sn= ．
两式相减得 Sn=1+ =2[1﹣（ ）n]﹣ ，
∴Sn=4﹣ ．
∵bn=n ＞0，
∴Sn≥S1=1，
∴1≤Sn＜4
【解析】（Ⅰ）根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明数列{log2（an+1）}为等比数列：（Ⅱ）求出bn=n1og2（an+1）的表达式，利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和为Sn ．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．