Question

【题目】函数f（x）=6cos2 + sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x0）= ，且x0∈（﹣ ， ），求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得f（x）=6cos2 + sinωx﹣3

=3cosωx+ sinωx=2 sin（ωx+ ）

又△ABC为正三角形，且高为2 ，可得BC=4．

∴函数f（x）的最小正周期为8，即 =8，

解得ω= ，∴f（x）=2 sin（ x+ ），

∴函数f（x）的值域为：[﹣2 ，2 ]；

（2）解：∵f（x0）= ，

∴2 sin（ x0+ ）= ，

故sin（ x0+ ）= ，

∵x0∈（﹣ ， ），∴ x0+ ∈（﹣ ， ），

∴cos（ x0+ ）= =

∴f（x0+1）=2 sin（ x0+ + ）

=2 × [sin（ x0+ ）+cos（ x0+ ）]=

【解析】（1）变形可得f（x）=2 sin（ωx+ ），由又由三角形的知识和周期公式可得ω= ，由振幅的意义可得值域；（2）由已知和（1）的解析式可得sin（ x0+ ）= ，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（ x0+ ）= ，代入f（x0+1）=2 sin（ x0+ + ）=2 × [sin（ x0+ ）+cos（ x0+ ）]计算可得．