Question

【题目】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；

(2)平面BDE⊥平面ABC.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】试题分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．

试题解析：

(1)∵D，E分别为棱PC，AC的中点，∴DE∥PA.

又∵PA平面DEF，DE平面DEF，

∴直线PA∥平面DEF.

(2)∵D、E、F分别为PC、AC、AB的中点，PA＝6，BC＝8，

∴DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.

又∵DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

∴∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，∴DE⊥AC.

∵AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴DE⊥平面ABC.

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.