Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．

Answer 1

【命题意图】本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，中等题．

【答案】（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝x²－3x＋lnx，定义域为（0，＋∞）．

f′(x)＝2x－3＋＝＝．

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝．…………………………………………………………………3分

所以函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．…………………………………………6分

（Ⅱ）f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝．

令f′(x)＝0，得x＝a，或x＝． …………………………………………………………^……7分

当a≤1时，不论还是，在区间上，均为增函数。

所以[f(x)]_min＝f(1) ＝－2a；…………………………………………………………………………8分

当1＜a＜e时，

所以[f(x)]_min＝f(a) ＝a(lna－a－1)；…………………………………………………………………10分

当a≥e时，

所以[f(x)]_min＝f(e) ＝e²－(2a＋1) e＋a．……………………………………………………………12分

综上，．                                      ……………………………13分