Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC．
（1）求证：PA²=PB•PC．
（2）已知PA=2

2

，PC=4，圆心O到BC的距离为

3

，求圆O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接AC，AB．由于PA是⊙O的切线，利用弦切角定理可得∠PAB=∠PCA，又∠P公用，可得△PCA∽△PBA．利用相似三角形的性质即可得出；
（2）利用（1）可得BC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，利用垂径定理可得BD=DC=1．再利用勾股定理可得OB．

解答：（1）证明：如图所示，
连接AC，AB．∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB=∠PCA，又∠P为公共角．
∴△PCA∽△PBA．∴

PC

PA

=

PA

PB

，即PA²=PB•PC．
（2）由PA²=PB•PC，得(2

2

)2=4PB，解得PB=2．∴BC=PC-PB=2．
过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，则BD=DC=1．
又圆心O到BC的距离为

3

，∴OB=

OD2+BD2

=2．

点评：熟练掌握圆的切线性质、垂径定理、相似三角形的性质、勾股定理等是解题的关键．