Question

【题目】如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的数量积，求得，即可得到平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解平面与平面所成二面角的正弦值．

（Ⅲ）设，，得，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到向量的坐标，进而求解的长.

（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

设平面的法向量，∵，，

由得，不妨设，

又 ∴，∴，

又∵平面 ∴平面．

（Ⅱ）设平面的法向量

∵，，

由得，不妨设，

∴， ∴

∴平面与平面所成二面角的正弦值为．

（Ⅲ）∵点在线段上，设，

∴，

又∵平面的法向量，设直线与平面所成角为

∴ ，

∴ ∴，

∵，∴

∴，∴，∴的长为.