Question

11．已知圆C的圆心坐标为（0，1），且与x轴相交的弦长为4，直线l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）证明：对任意实数m，直线l与定圆C总有两个交点；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，定点P（1，1）满足2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的方程，根据直线L：mx-y+1-m=0 过定点P（1，1），再根据点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，可得直线L与圆C总有两个交点．
（2）设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），由题意2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得2x₁+x₂=3． ①再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C，化简可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ ②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线l的方程．

解答 （1）证明：∵圆C的圆心坐标为（0，1），且与x轴相交的弦长为4，
∴r=$\sqrt{5}$，
∴圆C：x²+（y-1）²=5
直线L：mx-y+1-m=0 即 y-1=m（x-1），故直线过定点P（1，1），
而1²+（1-1）²=1＜5，故点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，故直线L与圆C总有两个交点．
（2）解：设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），
由题意2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C：x²+（y-1）²=5，化简可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根与系数的关系可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ ②．
由①②解得 x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，故点A的坐标为 （$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1+2m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）．
把点A的坐标代入圆C的方程可得 m²=1，故 m=±1，
故直线l的方程为 x-y=0，或x+y-2=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．