Question

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+4n（n=1，2，3，…）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4n}{4-{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用递推关系化为：a_n=2a_n-1-4，变形为a_n-4=2（a_n-1-4），再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=2a_n+4n，∴当n=1时，a₁=2a₁+4，解得a₁=-4．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+4n-[2a_n-1+4（n-1）]，化为：a_n=2a_n-1-4，变形为a_n-4=2（a_n-1-4），
∴数列{a_n-4}是等比数列，首项为-8，公比为2．
∴a_n-4=-8×2^n-1，化为a_n=4-2ⁿ⁺²．
（2）证明：b_n=$\frac{4n}{4-{a}_{n}}$=$\frac{4n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．