Question

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点M（m，0）（m＞$\frac{3}{4}$）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（$\frac{5}{4}$，0），且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$为定值．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M且垂直于l的直线与椭圆E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）抛物线y²=-4x的焦点为（-1，0），可得c=1，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设直线l的方程为：ty+m=x，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（t²+2）y²+2tmy+m²-2=0．把根与系数的关系代入$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}）$+y₁y₂=$（mt-\frac{5}{4}t）$（y₁+y₂）+（t²+1）y₁•y₂+$（m-\frac{5}{4}）^{2}$=$\frac{-\frac{7}{16}{t}^{2}+3{m}^{2}-5m+\frac{9}{8}}{{t}^{2}+2}$为定值．可得$\frac{3{m}^{2}-5m+\frac{9}{8}}{-\frac{7}{16}}$=$\frac{2}{1}$，解得m=1．可得|AC|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+2}$，把$\frac{1}{t}$代换t可得：|BD|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{1+2{t}^{2}}$．利用S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）抛物线y²=-4x的焦点为（-1，0），∴F₁（1，0），∴c=1，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1=b，a²=2．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设直线l的方程为：ty+m=x，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty+m=x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（t²+2）y²+2tmy+m²-2=0．
△＞0，∴y₁+y₂=$\frac{-2tm}{{t}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$．
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}）$+y₁y₂=$（t{y}_{1}+m-\frac{5}{4}）$$（t{y}_{2}+m-\frac{5}{4}）$+y₁•y₂
=$（mt-\frac{5}{4}t）$（y₁+y₂）+（t²+1）y₁•y₂+$（m-\frac{5}{4}）^{2}$
=$（mt-\frac{5}{4}t）$$\frac{-2tm}{{t}^{2}+2}$+（t²+1）$\frac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$+$（m-\frac{5}{4}）^{2}$=$\frac{-\frac{7}{16}{t}^{2}+3{m}^{2}-5m+\frac{9}{8}}{{t}^{2}+2}$为定值．
∴$\frac{3{m}^{2}-5m+\frac{9}{8}}{-\frac{7}{16}}$=$\frac{2}{1}$，化为：3m²-5m+2=0，$m＞\frac{3}{4}$，解得m=1．
∴M（1，0）．
∴y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{{t}^{2}+2}$．
∴|AC|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{4{t}^{2}}{（{t}^{2}+2）^{2}}-\frac{-4}{{t}^{2}+2}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+2}$，
把$\frac{1}{t}$代换t可得：|BD|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{1+2{t}^{2}}$．
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+2}$×$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{1+2{t}^{2}}$=$\frac{4（{t}^{2}+1）^{2}}{（{t}^{2}+2）（1+2{t}^{2}）}$，
令t²+1=k＞1，则f（k）=$\frac{4{k}^{2}}{（k+1）（2k-1）}$=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+k-1}$=$\frac{4}{2+\frac{1}{k}-\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\frac{4}{\frac{9}{4}-（\frac{1}{k}-\frac{1}{2}）^{2}}$≥$\frac{16}{9}$，
当$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2}$，即k=2，t=±1时取等号．
∴四边形ABCD面积的最小值为$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、四边形面积计算公式、二次函数的单调性、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．