Question

9．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，$DC=2AB=2，DA=\sqrt{3}$．
（1）线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出$\frac{BE}{CE}$的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．
（2）若$PD=\sqrt{3}$，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结DE，PE，BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中点，从而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，从而得出BC⊥平面PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；
（2）建立如图所示的坐标系，求出平面PBC的法向量，即可求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（1）$\frac{BE}{CE}$=1时，平面PBC⊥平面PDE．
证明：连结DE，PE，BD，∠BAD=90°，AB=1，DA=$\sqrt{3}$，
∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PDE；
∵BC?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），
∵PC=3PF，∴F（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）．
∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值=|$\frac{-\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{8}×\sqrt{\frac{43}{9}}}$|=$\frac{3\sqrt{258}}{172}$．

点评 本题考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．．