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    19．某养殖场原有一块直角梯形的水域ABCD，其中BC，AD与边AB垂直，AD=800m，AB=2BC=600m．为满足钓鱼爱好者需要，计划修建两道互相垂直的水上栈道MF与ME，点M，E，F都在岸边上，其中M为AB的中点，点E在岸边BC上，设∠EMB=θrad，水上栈道MF与ME的长度和记为f（θ）（单位：m）．
    （1）写出f（θ）关于θ的函数关系式，并指出tanθ的范围；
    （2）求f（θ）的最小值，并求出此时θ的值．

    分析 （1）由E在BC上，∠EMB=θ，得出0＜θ≤45°；
    利用直角三角形的边角关系求出ME、MF，写出f（θ）=ME+MF；
    （2）求出f（θ）的导数，利用f′（θ）=0求出f（θ）的最小值以及对应的θ值．

    解答 解：（1）梯形ABCD中，BC⊥AB，AD∥BC，AD=800m，AB=2BC=600m；
    MF⊥ME，且M为AB的中点，点E在BC上，设∠EMB=θ，则0＜θ≤45°；
    ∴ME=$\frac{MB}{cosθ}$=$\frac{300}{cosθ}$，
    MF=$\frac{MA}{cos（90°-θ）}$=$\frac{300}{sinθ}$，
    ∴f（θ）=$\frac{300}{cosθ}$+$\frac{300}{sinθ}$，其中0°＜θ≤45°，
    ∴0＜tanθ≤1；
    （2）由f（θ）=$\frac{300}{cosθ}$+$\frac{300}{sinθ}$，
    得f′（θ）=300（$\frac{sinθ}{{cos}^{2}θ}$-$\frac{cosθ}{{sin}^{2}θ}$）=300•$\frac{{sin}^{3}θ{-cos}^{3}θ}{{sin}^{2}{θcos}^{2}θ}$，
    令f′（θ）=0，解得sinθ=cosθ，
    ∴θ=45°，且0°＜θ＜45°时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
    ∴θ=45°时，f（θ）=$\frac{300}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$+$\frac{300}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=600$\sqrt{2}$，为最小值．

    点评 本题考查了直角三角形边角关系的应用问题，也考查了三角函数求最值问题，是综合性题目．

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    A．B．C．D．

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    A．（1，-2）B．（-1，2）C．（1，2）D．（-1，-2）

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