Question

7．设x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，则函数f（x）=sinx-cosx的值域是[0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根据两角和公式对函数解析式进行化简，再根据正弦函数的性质得出答案．

解答 解：y=sinx-cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
∴sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[0，$\sqrt{2}$]，即函数的值域为[0，$\sqrt{2}$]，
故答案为：[0，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查两角和公式及三角函数值域问题．把三角函数化简成y=Asin（ωx+φ）的形式很关键．