Question

18．在直角坐标xOy平面内，已知点F（2，0），直线l：x=-2，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}=μ\overrightarrow{BF}$，试判断λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则Q（-2，y），表示出向量通过$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，可得轨迹方程．
（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$M（-2，-\frac{4}{t}）$
联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消x可得y²-8ty-16=0，利用韦达定理，通过a＞2，推出$（x+2，{y_1}+\frac{4}{t}）=λ（2-{x_1}，-{y_1}）$，$λ=-1-\frac{4}{{t{y_1}}}$，同理可得$μ=-1-\frac{4}{{t{y_2}}}$，然后化简即可．

解答 解：（1）设P（x，y），则Q（-2，y），
所以$\overrightarrow{QP}=（x+2，0），\overrightarrow{QF}=（4，-y），\overrightarrow{FP}=（x-2，y），\overrightarrow{FQ}=（-4，y）$，
由$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$可得，4（x+2）=-4（x-2）+y²，
整理可得：y²=8x．
（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，可设直线方程为x=ty+2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$M（-2，-\frac{4}{t}）$
联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消x可得y²-8ty-16=0，
所以y₁+y₂=8t，y₁y₂=-16．
又a＞2，即$（x+2，{y_1}+\frac{4}{t}）=λ（2-{x_1}，-{y_1}）$，${y_1}+\frac{4}{t}=-λ{y_1}$，
得$λ=-1-\frac{4}{{t{y_1}}}$，同理可得$μ=-1-\frac{4}{{t{y_2}}}$，
所以$λ+μ=-2-\frac{4}{t}（{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}}）=-2-\frac{4}{t}（{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}{y_2}}}}）=-2-\frac{4}{t}•\frac{8t}{-16}$=0．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想设而不求的应用，考查计算能力．