【题目】已知数列各项均为正数, , ,且对任意恒成立,记的前项和为.
(1)若,求的值;
(2)证明:对任意正实数, 成等比数列;
(3)是否存在正实数,使得数列为等比数列.若存在,求出此时和的表达式;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析(3)存在使数列为等比数列,此时, .
【解析】试题分析:(1)根据, ,且对任意恒成立,代值计算即可.
(2)a1=1,a2=2,且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立,则可得,从而的奇数项和偶数项均构成等比数列,即可证明,
(3)在(2)中令,则数列是首项为3,公比为的等比数列,从而得到, .又数列为等比数列,解得,∴, ,∴求出此时和的表达式.
试题解析:
解:(1)∵,∴,又∵,∴;
(2)由,两式相乘得,
∵,∴,
从而的奇数项和偶数项均构成等比数列,
设公比分别为,则, ,
又∵,∴,即,
设,则,且恒成立,
数列是首项为,公比为的等比数列,问题得证;
(3)在(2)中令,则数列是首项为3,公比为的等比数列,
∴
,
且, , , ,
∵数列为等比数列,∴
即即
解得(舍去),
∴, ,
从而对任意有,
此时, 为常数,满足成等比数列,
当时, ,又,∴,
综上,存在使数列为等比数列,此时, .
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【题目】已知函数.
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)当时,分别求函数的最小值和的最大值,并证明当时, 成立;
(3)令,当时,判断函数有几个不同的零点并证明.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为.
(1)写出直线与曲线的直角坐标方程;
(2)过点M平行于直线的直线与曲线交于两点,若,求点M轨迹的直角坐标方程.
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【题目】如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC, ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF//BC.
(Ⅰ)证明:AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.
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【题目】如图,有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施,并将剩余空地进行绿化,园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为,半径为,矩形的一边在直径上,点在圆周上, 在边上,且,设.
(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为,求的表达式;
(2)当为何值时,能符合园林局的要求?
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