Question

【题目】如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC， ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.

(Ⅰ)证明：AB平面PFE.

(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) BC=3或BC=3

【解析】试题分析：（Ⅰ）先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，

（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．

试题解析：证明：如题（20）图.由知， 为等腰中边的中点，故

，

又平面平面，平面 平面， 平面， ，

所以平面，从而.

因.

从而与平面内两条相交直线， 都垂直，

所以平面.

（2）解：设,则在直角中，

.从而

由，知，得,故，

即.

由,,

从而四边形DFBC的面积为

由（1）知，PE平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.

在直角中， ,

体积,

故得，解得，由于，可得.

所以或.