Question

【题目】若数列： ， ，…， （）中（）且对任意的

恒成立，则称数列为“数列”．

（Ⅰ）若数列， ， ， 为“数列”，写出所有可能的， ；

（Ⅱ）若“数列”： ， ，…， 中， ， ，求的最大值；

（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”： ， ，…， ，

记，其中表示， ，…， 这个数中最大的数，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ， 或 （2）最大值为（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据“数列”的定义，讨论列举法即可求出， ；（Ⅱ） 可得，解得： ，故，另外，任意的， ，故数列为“数列”，此时，即符合题意；（Ⅲ）利用放缩法，即可得结论.

试题解析：：（Ⅰ） ， 或

（Ⅱ）的最大值为，理由如下

一方面，注意到：

对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立．

当， 时，注意到，得

（）

此时

即，解得： ，故 另一方面，取（），则对任意的， ，故数列为“数列”，此时，即符合题意．

综上， 的最大值为65．

（Ⅲ）的最小值为，证明如下：

当（， ）时，

一方面：

由（★）式， ，

．

此时有：

故

另一方面，当， ，…， ， ， ，…， 时，

取，则， ， ，且

此时．

综上， 的最小值为．