Question

【题目】设不等式表示的平面区别为．区域内的动点到直线和直线的距离之积为2．记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于、两点．

（1）求曲线的方程；

（2）若垂直于轴，为曲线上一点，求的取值范围；

（3）若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据“区域内的动点到直线和直线的距离之积为”列方程，化简后求得曲线的方程.

（2）求得两点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.

（3）设出直线的方程，联立直线的方程和曲线，写出韦达定理.求得以为直径的圆的圆心和直径，根据圆与轴相切列方程，解方程求得直线的斜率.

（1）设，依题意①，因为满足不等式，所以①可化为.

（2）将代入曲线的方程，解得.取，设，因为为曲线上一点，故.则.即的取值范围是.

（3）设直线的方程是，.联立，消去得，所以.

设线段的中点为，则，所以..因为以线段为直径的圆与轴相切，所以，即，化简得.所以直线的斜率为.