Question

【题目】（多选题）下列说法正确的是（ ）

A.椭圆1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为

B.过双曲线1焦点的弦中最短弦长为

C.抛物线y2＝2px上两点A（x1，y1）．B（x2，y2），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2

D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切

Answer 1

【答案】A

【解析】

直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案.

对于A中，椭圆的左右顶点的分别为，

设椭圆上除左右顶点以外的任意一点，则，

又因为点在椭圆上，可得，解得，

所以，所以A项是正确的；

对于B中，设双曲线右焦点，

（1）当直线与双曲线的右支交于，

（i）当直线的斜率不存在时，则直线方程为，则，

（ii）当直线的斜率存在时，则直线方程为，

联立方程组，得，

则，得或，

由焦半径公式可得

，

所以当直线的斜率不存在时，的长最小，最小值为．

（2）当过的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得的最小值为．

综上可得，当，即，此时过焦点的弦长最短为；

当，即，此时过焦点的弦长最短为．

所以B项是不正确的；

对于C中，充分性：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，

因为，所以，此时直线过焦点.

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

由，得，

所以，且，

又因为且，所以，解得或，

所以直线方程为或,

当直线时，取时，，直线过焦点；

当直线时，取时，，直线过焦点；

所以充分性不成立．

必要性：当直线过焦点时，

设过焦点的直线的方程为，代入，

可得，则，

则.

所以抛物线上两点，则弦经过抛物线的焦点的必要不充分条件是，所以C是不正确的.

对于D中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D项是不正确的.

故选：A.