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已知圆心在直线3x-y=0上的圆C在x轴的上方与x轴相切,且半径为3.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y+1=k(x+2)与圆C相切,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)设圆心C的坐标为(a,b),又半径r=3,写出圆C的标准方程,由圆心C在直线3x-y=0上,把设出的圆心C坐标代入直线方程可得a与b的关系式,又根据圆与x轴相切,可得圆心的纵坐标的绝对值即|b|等于圆的半径3,又圆C在x轴上方可得b大于0,从而求出b的值,把b的值代入a与b的关系式中求出a的值,从而确定出圆C的方程;
(Ⅱ)由第一问求出的圆C的方程,找出圆心C的坐标和圆的半径,根据直线l与圆C相切,可得圆心C到直线l的距离等于圆的半径,故利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,令d等于半径3列出关于k的方程,求出方程的解即可确定出直线l的方程.
解答:解:(Ⅰ)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9,
由圆心在直线3x-y=0上,可得3a-b=0,
又圆与x轴相切,可得|b|=3,
由圆C在x轴上方,可得b>0,所以b=3,
把b=3代入3a-b=0,解得a=1,
则圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到圆心坐标为(1,3),半径r=3,
设圆心到直线y+1=k(x+2)的距离d,
∵直线l与圆C相切,
∴d=
|k-3+2k-1|
1+2k2
=3,
∴k=
7
24

∴直线l的方程为y+1=
7
24
(x+2),即7x-24y-10=0.
点评:此题考查了圆的标准方程,以及直线与圆的位置关系,确定出圆心坐标和圆的半径是写出圆标准方程的前提,熟练掌握直线与圆的位置关系相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径是解第二问的关键.
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7
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