Question

已知圆x²+y²+2x-6y+m=0与x+2y-5=0交于A，B两点，O为坐标原点，若

OA

•

OB

=0，则实数m 的值为

0

．

Answer 1

分析：根据圆的一般方程，得到圆x²+y²+2x-6y+m=0与x+2y-5=0的圆心C（-1，3），坐标适合直线x+2y-5=0方程，因此直线被圆截得的线段AB是圆C的直径．再由数量积

OA

•

OB

=0，得到OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O为直角顶点的直角三角形，从而得到原点O在圆C上．将原点坐标代入圆C方程即可得到实数m 的值．

解答：解：将圆x²+y²+2x-6y+m=0与x+2y-5=0化成标准方程，得：（x+1）²+（y-3）²=10-m．
∴圆x²+y²+2x-6y+m=0的圆心为C（-1，3），半径r=

10-m

∵点C（-1，3）恰好在直线x+2y-5=0上，∴线段AB是圆C的直径
又∵直线x+2y-5=0交圆C于A，B两点，且

OA

•

OB

=0
∴OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O为直角顶点的直角三角形
因此，得到原点O在圆C上．
∴将O（0，0）代入圆C的方程，得m=0
故答案为：0

点评：本题给出直线被圆截得的弦AB与原点构成直角三角形，来求字母参数m的值，着重考查了直线与圆位置关系和平面向量数量积的运算等知识点，属于中档题．