Question

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+b=0在区间[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

2

x+a

-2x-1，当x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（x）=0，解得a=2，检验a=2符合题意．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，则 g′(x)=

2

x+2

-2x-1(x＞-2)，
当x∈（-2，0）时，g'（x）＞0，∴g（x）在（-2，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
要使f（x）+b=0在区间[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
只需

g(-1)≤0 g(0)＞0 g(1)≤0

即

b≤0 2ln2+b＞0 2ln3-2+b≤0

，
∴-2ln2＜b≤2-2ln3．