Question

（2011•盐城模拟）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，利用f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2），可求函数的解析式；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，从而可得当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）；
（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则|x+t|+2≤（x+3）²对x∈[m，10]恒成立，从而有

t≤x2+5x+7 t≥-x2-7x-7

对x∈[m，10]恒成立，由此可求适合题意的最小整数m的值．

解答：解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²
所以m＞2…（6分）
所以当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）²，
即|x+t|+2≤（x+3）²对x∈[m，10]恒成立…（12分）
从而有

t≤x2+5x+7 t≥-x2-7x-7

对x∈[m，10]恒成立，因为m≥-2，
所以

t≤(x2+5x+7)min=m2+5m+7 t≥(-x2-7x-7)max=-m2-7m-7

…（14分）
因为存在这样的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以适合题意的最小整数m=-1…（16分）

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查函数的解析式，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值是关键．