Question

3．如图所示，$\overrightarrow{|AB}|=2，\overrightarrow{|AC}|=1，∠BAC={120°}$，O为△ABC的内心，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$的值为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用内心的性质求出OA的长和∠OAC，代入数量积公式计算．

解答 解：设△ABC的内切圆为⊙O与AC，AB，BC的切点分别为D，E，F，连结OD，OE，OF，OA，
∴OD⊥AC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，设AD=x，则AE=AD=x，OA=2AD=2x，
∴CF=CD=1-x，BF=BE=2-x，
∵BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{7}$．
∴1-x+2-x=$\sqrt{7}$，解得x=$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，
∴OA=2x=3-$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=OA•AC•cos∠OAD=（3-$\sqrt{7}$）•1•cos60°=$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．
故答案为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，利用内心的性质是关键．