Question

11．设$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）$，其中O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 解出$\overrightarrow{AP}$，计算$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$并化简可得出结论．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|•cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|•cosC}$），
∴$\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}=λ（\frac{{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）=λ（{-|{\overrightarrow{BC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|}）=0$，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$是关键．