Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，
（1）求{a_n}的通项公式a_n．
（2）若b_n=4n-1，${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}$，求数列{b_n•c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，变形得a_n+1+1=2（a_n+1），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}$=2^n-1，b_n=4n-1，可得b_n•c_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，则a₁+1=2≠0，∴a_n+1≠0，
则$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
则a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}$=2^n-1，b_n=4n-1，
b_n•c_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^*，
∴T_n=3+7×2+11×2²+…+（4n-1）×2^n-1，
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）×2^n-1+（4n-1）×2ⁿ．
∴2T_n-T_n=（4n-1）×2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1]=（4n-5）2ⁿ+5．
故T_n=（4n-5）2ⁿ+5．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．