Question

（本小题共12分）

如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，

定点B的坐标为（2，0）.

（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；

（2）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（I）动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆 （II）（3－2，1）.

【解析】

试题分析：（I）由，  ∴直线l的斜率为 

故l的方程为，∴点A坐标为（1，0）

设   则，

由得

整理，得 

∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆

（II）由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得，

由△>0得0<k²<.  设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

则 ②

令，由此可得

由②知

.

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.

考点：本题考查了直线与抛物线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.